문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 갈루아 이론 (문단 편집) == 갈루아 코호몰로지(Galois cohomology)와 쿰머 이론(Kummer theory) == 코호몰로지란 간단히 말해서, '''우리가 모르는 정보들'''을 모아놓는 곳이다. 예를 들면 다변수 미적분학에서 [math(\omega=\frac{-y}{x^2+y^2}\,\mathrm{d}x+\frac{x}{x^2+y^2}\,\mathrm{d}y)] 를 드람 코호몰로지에 넣으면 이것의 부정적분은 존재하지 않음을 알 수 있다. 그러니까 그 어떤 무한번 미분가능한 함수 [math(f\in C^{\infty}(\mathbb{R}^2-\{0\}))]도 [math(\mathrm{d}f=\omega)]를 만족할 수 없음을 알 수 있다. 이는 이 드람 코호몰로지가 드람 정리로 첫번째가 [math(\mathbb{R})]로 [math(0)]이 아니기 때문이며 덤으로 이렇게 부정적분이 없는 1-form은 오로지 [math(\omega)]의 상수배꼴과 부정적분이 있는 다른 1-form들의 합으로 표현될 수밖에 없음을 보일 수 있다. 먼저 Ext 함자를 정의하자. [math(R)]가 (가환이 아니어도 되는) 1이 있는 환이고 [math(M,N)]가 모두 [math(R)]-가군이라고 하자. 그러면 [math(M)]의 사영 분해 [math(P^{\bullet}\to M\to 0)]와 [math(N)]의 단사 분해 [math(0\to N\to I^{\bullet})]가 있을 때 이 둘로 [math(\mathrm{Hom}_R(M,N))]의 이중 사슬 복합체 [math(\mathrm{Hom}_R(P^{\bullet},I^{\bullet}))]를 만들 수 있으며 이것의 전체화(totalization)의 [math(i)]번째 코호몰로지를 [math(\mathrm{Ext}^i_R(M,N))]라고 쓴다. 이것의 성질엔 다음이 있다. > (1) 어떤 사영 분해 [math(P^{\bullet}\to M\to 0)]와 단사 분해 [math(0\to N\to I^{\bullet})]를 선택하더라도 [math(\mathrm{Ext}^i_R(M,N))]는 유일하다. > (2) 유도 함자를 통해서 정의할 수 있다. 그러니까 [math(\mathrm{Ext}^i_R(M,N)=R^i\mathrm{Hom}_R(M,-)=L^i\mathrm{Hom}_R(-,N))]가 된다. 이 세 정의가 동치라는 것은 위에서 정의한 이중 사슬 복합체로 만든 스펙트럼 열에서 가로세로로 페이지를 넘기면 된다. > (3) 유도 범주를 이용하면 [math(D(\mathrm{Mod}_R))]에서 [math(\mathrm{Ext}^i_R(M,N)=\mathrm{Hom}_{D(\mathrm{Mod}_R)}(M,N[i]))]로 아주 깔끔하게 정의된다. 위의 네 정의가 동치라는 것은 [math(i=0)]에서 먼저 생각한 다음에 긴 완전열을 생각한다. > (4) 당연히 [math(\mathrm{Ext}^0_R(M,N)=\mathrm{Hom}_R(M,N))]다. > (5) [math(\mathrm{Ext}^i_R(-,-))]에서 앞은 안의 colimit를 limit로 옮기고 뒤는 안의 limit를 limit로 옮긴다. 이는 Hom 함자의 성질에서 그대로 딸려 나온다. > (6) [math(i=1)]일 때, [math(\mathrm{Ext}^1_R(M,N))]은 [math(\{K\in \mathrm{Ob}(\mathrm{Mod}_R)|0\to M\to K\to N\to 0\})]이란 집합과 1-1 대응을 이룬다. 이제 [math(G)]가 유한군이라고 하면 [math(H^i(G,M)=\mathrm{Ext}^i_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z},M))]라고 정의한다. 그렇다면 이것의 성질엔 다음이 있다. > (1) [math(H^0(G,M)=\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z},M)=M^G=\{x\in M|\sigma(x)=x\text{ for all } \sigma \in G\})]이 된다. > (2) 앞으로 [math(\mathbb{Z}[G])]-가군을 간단하게 [math(G)]-가군이라고 쓰자. 그러면 [math(G)]-가군 [math(M)]에 대해서 1-공사슬(1-cocycle)을 [math(f:G\to M)]이고 [math(f(gh)=f(g)+gf(h))]를 만족하는 함수라고 정의하자. 그리고 1-공경계(1-coboundary)를 적당한 [math(x\in M)]이 있어서 [math(f(g)=gx-x)]를 만족하는 함수로 정의하자. 그러면 [math(H^1(G,M)=\{\text{1-cocycles}\}/\{\text{1-coboundaries}\})]가 된다. 이는 [math(M)]의 단사 가군을 구체적으로 잡는 것으로 알 수 있다. > (3) 위에서 바로 딸려나오는 것으로 [math(M^G=M)]라면 [math(H^1(G,M)=\mathrm{Hom}(G,M))]가 된다. > (4) (Hilbert theorem 90) [math(L/K)]를 체의 유한 확장이라고 하고 갈루아 확장이라고 하자. 그리고 그 갈루아 군을 [math(G)]라고 하면 [math(H^1(G,L^{\times})=0)]가 된다. 이것의 가장 간단한 증명은 충만한 평탄 내림(faithfully flat descent)로 [math(H^1(G,L^{\times})=H^1(\mathrm{Spec}\,L,\mathcal{O}^{\times}_{\mathrm{Spec}\,L}))]임을 증명하는 것이다. 이제 [math(K)]의 표수가 [math(n)]하고 서로소고 [math(L/K)]라는 갈루아 유한 확대가 있고 이것의 갈루아 군이 [math(G)]고 [math(K)]가 nth root of unity를 모두 가지고 있다고 생각해보자. 그 nth root of unity들의 군을 [math(\mu_n)]라고 쓴다면 다음과 같은 완전열을 만들 수 있다. [math(0\to \mu_n\to L^{\times}\to L^{\times}\to 0)] 여기에서 첫번째 화살표는 그냥 inclusion, 두번째 화살표는 [math(\alpha)]를 [math(\alpha^n)]로 보내는 군 준동형사상이다. 그러면 이것의 핵은 [math(\mu_n)]이 되므로 이 완전열이 만들어진다. 그러면 우리는 여기에 코호몰로지를 씌울 수 있고 그러면 이 완전열은 [math(0\to H^0(G,\mu_n)\to H^0(G,L^{\times})\to H^0(G,L^{\times})\to H^1(G,\mu_n)\to H^1(G,L^{\times}))] 란 긴 완전열을 만든다. 이제 각각의 코호몰로지를 계산하면 첫번째는 [math(K)]에 대한 가정과 성질 (2)로 [math(\mu_n)]고 두번째와 세번째는 성질 (2)와 갈루아 이론의 기본 정리로 [math(K^{\times})]고 네번째는 [math(\mu^G_n=\mu_n)]와 성질 (3)으로 [math(H^1(G,\mu_n)=\mathrm{Hom}(G,\mu_n))]고 다섯번째는 성질 (4)로 0이다. 따라서 다음을 만들 수 있다. [math(\mathrm{Hom}(G,\mu_n)=(K^{\times}\cap (L^{\times})^n)/(K^{\times})^n)] 이제 왼쪽을 분석해보자. 왼쪽은 factor group이 [math(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})]의 부분군인 [math(G)]의 부분군하고 1-1 대응을 이룬다. 이는 다시 갈루아 이론의 기본 정리로 [math(L)] 안에 있는 [math(K)]의 차수가 [math(n)]의 약수이고 그 갈루아 군이 순환군인 갈루아 확대들의 모임과 1-1 대응을 이룬다. 다음으로 오른쪽을 분석해보자. [math((K^{\times}\cap (L^{\times})^n)/(K^{\times})^n)]의 원소들은 [math(a(K^{\times})^n)]꼴이고, 이는 [math(K)]의 확대체 [math(K(a^{\frac{1}{n}}))]하고 1-1 대응을 이룬다. 따라서 갈루아 군이 순환군인 갈루아 확장을 순환 확장(cyclic extension)이라고 하면 우리는 다음 대응을 만들 수 있다. [math(\{\text{Cyclic extensions of }K\text{ which degrees are divided by }n\}\leftrightarrow\{L/K(a^{\frac{1}{n}})/K\text{ for }a\in K\})] 그러니까, 간단히 말하면 모든 순환 확장은 제곱근꼴로 표현 가능하다는 것이다. 이를 '''쿰머 이론'''이라고 부른다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기